La forma de los datos
Centro y dispersión no alcanzan para describir un conjunto. Falta la forma: cómo se reparten los datos alrededor del centro.
SIMÉTRICA SESGADA A LA DERECHA DOS PICOS
/\ /\ /\ /\
/ \ / \___ / \ / \
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media = mediana media > mediana ningún centro
sirve solo
La campana (distribución normal)
Un montón de cosas medibles en el mundo se reparten así: la mayoría cerca del centro, y cada vez menos a medida que uno se aleja hacia los extremos. Estaturas, errores de medición, tiempos de reacción, notas de una prueba bien hecha.
Cuando los datos tienen esa forma, pasa algo muy útil: la desviación estándar deja de ser un número abstracto y se vuelve un mapa.
La regla 68 – 95 – 99,7
68% de los datos
|----------------|
|-------------------------|
95% de los datos
|---------------------------------|
99,7% de los datos
-3σ -2σ -1σ media +1σ +2σ +3σ
- Entre una desviación arriba y abajo de la media cae el 68 % de los datos.
- Entre dos desviaciones cae el 95 %.
- Entre tres desviaciones cae el 99,7 %.
Ejemplo. Estaturas de hombres adultos con media 1,71 m y desviación 0,07 m:
- El 68 % mide entre 1,64 y 1,78 m.
- El 95 % mide entre 1,57 y 1,85 m.
- Alguien de 1,92 m está a tres desviaciones: es 1 de cada 300 aproximadamente.
Esta regla es la que le permite responder "¿esto es raro o es normal?" sin ser experto. Si un dato está a más de dos desviaciones del promedio, ya es poco común. A más de tres, es excepcional.
El puntaje Z
Es la misma idea convertida en número: a cuántas desviaciones del promedio está un dato.
Z = (dato − media) / desviación
Un estudiante saca 78 en una prueba con media 70 y desviación 8 → Z = +1. Otro saca 45 en una prueba con media 40 y desviación 2,5 → Z = +2.
El segundo lo hizo mejor, aunque su nota bruta sea más baja. El puntaje Z es lo que permite comparar resultados de pruebas distintas, y es la base de cómo se reportan las pruebas Saber, el ICFES y casi todo examen estandarizado.
La regla 68-95-99,7 solo aplica si la distribución tiene forma de campana. Con ingresos, que están fuertemente sesgados, no funciona: hay que usar mediana y cuartiles. Antes de aplicar la regla, mire el histograma.
El sesgo
Una distribución es sesgada a la derecha cuando tiene una cola larga hacia los valores altos: unos pocos casos muy grandes jalan la media hacia arriba. Ingresos, precios de vivienda, número de seguidores, duración de una llamada al call center. En estos casos:
moda < mediana < media
Es sesgada a la izquierda cuando la cola larga va hacia los valores bajos: edad de fallecimiento, notas de un examen muy fácil. Ahí:
media < mediana < moda
El truco de diagnóstico: compare media y mediana.
- Si media ≈ mediana → simétrica → reporte media y desviación.
- Si media > mediana → sesgo a la derecha → reporte mediana y cuartiles.
- Si media < mediana → sesgo a la izquierda → reporte mediana y cuartiles.
Eso es todo. No hace falta calcular ningún coeficiente de asimetría para tomar la decisión correcta sobre qué reportar.
Distribución con dos picos
Es la que casi nadie menciona y la que más engaña. Aparece cuando dentro de sus datos hay dos grupos distintos mezclados: los que estudiaron y los que no, los clientes viejos y los nuevos, el turno de la mañana y el de la noche.
Señales de alarma:
- El histograma tiene dos jorobas.
- La desviación estándar es enorme comparada con la media (CV alto).
- El promedio cae justo en el valle donde no hay casi nadie.
Qué hacer: no reportar un solo resumen. Separar los dos grupos, describirlos por aparte, y —lo más importante— averiguar qué los separa. Casi siempre esa variable escondida es el verdadero hallazgo del estudio.
En la hoja de cálculo
Histograma Insertar → Gráfico → Histograma (Excel y Sheets lo traen)
Puntaje Z =(A2-PROMEDIO($A$2:$A$61))/DESVEST.M($A$2:$A$61)
Asimetría =COEFICIENTE.ASIMETRIA(A2:A61) =SKEW(A2:A61)
Área bajo la campana =DISTR.NORM.N(valor;media;desv;VERDADERO)
Si el coeficiente de asimetría está entre −0,5 y 0,5, considere la distribución razonablemente simétrica.
Práctica
Básico. El tiempo de espera en una sucursal tiene media 12 minutos y desviación 3 minutos, con forma de campana. ¿Entre qué valores está el 95 % de los clientes? Si alguien esperó 25 minutos, ¿fue un caso raro?
Intermedio. Un curso tiene media 3,5 y mediana 3,0. Otro tiene media 3,5 y mediana 4,0. Dibuje aproximadamente la forma de cada distribución y diga qué está pasando en cada curso.
Reto. Una empresa mide el tiempo de respuesta de su servicio: media 4 horas, desviación 6 horas. Explique por qué esos dos números juntos son una señal de alarma, qué sospecha usted que hay detrás, y qué gráfica pediría para confirmarlo.