El centro no basta: dónde está cada quien
La mediana partió los datos en dos mitades. La misma idea, llevada más lejos, resuelve preguntas que el promedio no puede responder: ¿el niño está bien de talla para su edad? ¿mi sueldo es bueno para mi profesión? ¿este resultado del laboratorio es normal?
Todas esas son preguntas de posición, no de centro.
Cuartiles: partir en cuatro
Los cuartiles parten los datos ordenados en cuatro grupos del mismo tamaño.
25% 25% 25% 25%
|-------|--------|--------|-------|
min Q1 Q2 Q3 max
(mediana)
- Q1 — por debajo queda el 25 % de los datos.
- Q2 — es la mediana: por debajo queda el 50 %.
- Q3 — por debajo queda el 75 %.
Ejemplo. Once notas ordenadas:
1,5 2,0 2,5 3,0 3,2 3,5 3,8 4,0 4,2 4,5 5,0
↑Q2 (posición 6)
Q2 = 3,5. La mitad de abajo es 1,5 2,0 2,5 3,0 3,2 → su mediana, Q1 = 2,5.
La mitad de arriba es 3,8 4,0 4,2 4,5 5,0 → su mediana, Q3 = 4,2.
Lectura: "la mitad del curso está entre 2,5 y 4,2." Esa frase describe al grupo mucho mejor que "el promedio es 3,4".
La distancia Q3 − Q1 se llama rango intercuartílico (RIC) y es la medida de dispersión más robusta que existe: no la afecta ningún dato extremo, porque ignora el 25 % de arriba y el 25 % de abajo. Aquí: 4,2 − 2,5 = 1,7.
Percentiles: partir en cien
Es la misma idea con cien pedazos, y es la forma en que se lee todo control de crecimiento infantil y buena parte de las pruebas estandarizadas.
"Su hija está en el percentil 60 de talla" significa: de cada 100 niñas de su edad, 60 son más bajas que ella y 40 son más altas. No es una calificación de 60 sobre 100. Es una posición.
Ese malentendido es tan común que vale la pena decirlo dos veces: percentil no es nota. Estar en el percentil 30 de estatura no es "malo": es ser más bajo que el 70 % de la gente de su edad, lo cual puede ser perfectamente normal.
En la prueba Saber 11 pasa lo mismo: el percentil le dice cuántos quedaron por debajo de usted, no cuánto sabe.
El diagrama de caja y bigotes
Es la gráfica que muestra los cinco números de un vistazo: mínimo, Q1, mediana, Q3, máximo.
|-------[====|=========]--------| o
min Q1 Me Q3 max atípico
|___________________|
la caja = 50% central
- La caja contiene el 50 % central de los datos.
- La raya de adentro es la mediana. Si no está en el centro de la caja, la distribución es asimétrica.
- Los bigotes llegan hasta el dato más lejano que todavía no es atípico.
- Los puntos sueltos son los atípicos.
Su gran ventaja: comparar varios grupos. Cuatro cursos, cuatro cajas, una al lado de la otra, y se ve de inmediato cuál tiene mejores notas y cuál está más disparejo. Ninguna otra gráfica hace eso en tan poco espacio.
El dato atípico: qué hacer con él
Un atípico (o outlier) es un dato muy alejado del resto. La regla usual:
Es atípico si está por debajo de Q1 − 1,5 × RIC
o por encima de Q3 + 1,5 × RIC
Con las notas del ejemplo: RIC = 1,7 → 1,5 × 1,7 = 2,55. Límite inferior: 2,5 − 2,55 = −0,05. Límite superior: 4,2 + 2,55 = 6,75. Como las notas van de 1,5 a 5,0, no hay atípicos: el grupo es disparejo pero no tiene casos raros.
Un atípico no se borra. Se investiga. Hay tres explicaciones posibles y cada una lleva a una acción distinta:
- Error de digitación (una estatura de 17 m). Se corrige o se elimina, y se deja constancia de que se hizo.
- Un caso real y distinto (el dueño de la empresa). Se conserva y se reporta usando la mediana, no la media.
- El hallazgo del estudio (el paciente que sí respondió al tratamiento). Ese dato es lo más valioso que tiene.
Borrar los datos que estorban es la forma más común de fraude involuntario.
En la hoja de cálculo
Cuartil 1 =CUARTIL(A2:A61;1) =QUARTILE(A2:A61,1)
Mediana / Q2 =CUARTIL(A2:A61;2) o =MEDIANA(...)
Cuartil 3 =CUARTIL(A2:A61;3)
Percentil 90 =PERCENTIL(A2:A61;0,9) =PERCENTILE(A2:A61,0.9)
Rango intercuart. =CUARTIL(A2:A61;3)-CUARTIL(A2:A61;1)
Para el diagrama de caja: seleccione los datos → Insertar → Gráfico → tipo "Caja y bigotes" (en Google Sheets se llama Gráfico de caja; en Excel, Cajas y bigotes).
Práctica
Básico. Con estos 9 tiempos de atención en minutos:
4, 6, 7, 9, 11, 12, 15, 18, 40
Calcule Q1, mediana, Q3 y el RIC. Determine si el 40 es un dato atípico.
Intermedio. Al pediatra le dicen que un niño está en el percentil 15 de peso y en el percentil 85 de talla. Explíquele a la mamá, en lenguaje sencillo, qué significa eso y por qué no es una nota.
Reto. Dos cursos entregan estas cajas:
- Curso A: min 2,0 · Q1 3,2 · Me 3,5 · Q3 3,8 · max 4,5
- Curso B: min 1,0 · Q1 2,0 · Me 3,5 · Q3 4,6 · max 5,0
Los dos tienen la misma mediana. Escriba tres diferencias reales entre los dos cursos y qué haría distinto como profesor en cada uno.